✎☛ Déterminer si deux droites de l'espace sont sécantes

Remarque

Dans l'espace, prouver que deux droites sont sécantes ne revient pas à prouver qu'elles ne sont pas parallèles. Ce raisonnement est valable dans le plan, mais il ne l'est pas dans l'espace. En effet, deux droites de l'espace non parallèles peuvent être non coplanaires.

Méthode

Pour déterminer si deux droites de l'espace sont sécantes, on examine si elles ont un unique point d'intersection : les coordonnées de leur éventuel point d'intersection vérifient les représentations paramétriques des deux droites simultanément.

Soit deux droites dans l'espace.

• On écrit les représentations paramétriques des deux droites, avec des paramètres différents pour chaque droite.
• On résout le système, d'inconnues les paramètres, formé en égalisant les expressions correspondant aux coordonnées respectives de chaque représentation paramétrique.
  

Si on obtient un unique couple solution du système, alors les droites sont sécantes. Pour trouver les coordonnées du point d'intersection, il suffit alors de remplacer la valeur de l'un des paramètres dans la représentation paramétrique correspondante.
Si on ne trouve pas de couple solution, alors les droites sont strictement parallèles ou non coplanaires.
Si on trouve une infinité de couples solution, alors les droites sont parallèles confondues.

Énoncé 1

Soit \(d_1\) et \(d_2\) deux droites définies (avec  \(t\) et \(k\) réels) par : 
\(d_1 \begin{cases} x = 2+3t \\ y = -1-t \\ z = 1+t \\ \end{cases}\)  et  \(d_2 \begin{cases} x = 1+k \\ y =-3+2k \\ z = 2-k \\ \end{cases}\) .
Prouver que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection \(\text I\) .

Solution

On cherche  \(\text I(x~;~y~;~z)\)  appartenant aux deux droites   \(d_1\) et \(d_2\)   simultanément.
Alors les coordonnées de \(\text I\) vérifient le système (avec  \(t\) et \(k\) réels) :  \(\begin{cases} 2+3t = 1+k \\ -1-t = -3+2k \\ 1+t = 2-k \\ \end{cases}\) ,
ce qui équivaut à  \(\begin{cases} 3t-k = -1 \\ -t-2k = -2 \\ t+k = 1 \\ \end{cases}\)  soit  \(\begin{cases} 3t-k = -1 \\ t+2k = 2 \\ t+k = 1 \\ \end{cases}\) .
On résout le système partiel formé des première et troisième équations :  \(\begin{cases} 3t-k = -1 \\ t+k = 1 \\ \end{cases}\) .
En ajoutant les deux équations membre à membre, on obtient  \(4t=0\) , soit \(t=0\) .
On remplace la valeur de \(t\) dans l'une des deux équations, ce qui donne \(k=1\) .
On obtient le système suivant :  \(\begin{cases} t = 0 \\ t+2k = 2 \\ k = 1 \\ \end{cases}\) .
On remplace les valeurs de   \(t\) et \(s\) trouvées dans la deuxième équation :
\(t+2k=0+2\times 1=2\) .
Conclusion : le système admet un unique couple solution \((t,k)=(0,1)\) .
Donc les droites   \(d_1\) et \(d_2\) sont sécantes.
Pour obtenir leur point d'intersection, on remplace (par exemple) \(t=0\) dans la représentation paramétrique de \(d_1\) et on a   \(\text I(2~;-1~;~1)\) .

Remarque 

On pourra remplacer \(k=1\) dans la représentation paramétrique de \(d_2\) pour obtenir ces mêmes coordonnées.

Énoncé 2

Soit \(d_1\) et \(d_2\) deux droites définies (avec  \(t\) et \(s\) réels) par :
\(d_1 \begin{cases} x = 1-2t \\ y = -1+4t \\ z = 2+2t \\ \end{cases}\)  et  \(d_2 \begin{cases} x = 2s+1 \\ y =3s \\ z = -s-2 \\ \end{cases}\) .
Les droites sont-elles sécantes ?

Solution

On cherche  \(\text I(x~;~y~;~z)\)  appartenant aux deux droites   \(d_1\) et \(d_2\)   simultanément.
Alors les coordonnées de \(\text I\) vérifient le système (avec  \(t\) et \(k\) réels) :  \(\begin{cases} 1-2t=2s+1 \\ -1+4t=3s \\ 2+2t=-s-2 \\ \end{cases}\) ,
ce qui équivaut à  \(\begin{cases} -2t-2s=0 \\ 4t-3s=1 \\ 2t+s=-4 \\ \end{cases}\)  soit  \(\begin{cases} t+s=0 \\ 4t-3s=1 \\ 2t+s=-4 \\ \end{cases}\) .
On résout le système partiel formé des première et troisième équations :  \(\begin{cases} t+s=0 \\2t+s=-4 \\ \end{cases}\) .
En soustrayant membre à membre les deux équations, on obtient  \(t=-4\) .
On remplace la valeur de \(t\) dans l'une des deux équations, ce qui donne \(s=4\) .
On obtient le système suivant :  \(\begin{cases} t=-4 \\ 4t-3s=1\\ s=4 \\ \end{cases}\) .
On remplace les valeurs de   \(t\) et \(s\) trouvées dans la deuxième équation : \(4t-3s=4\times (-4) - 3\times 4=-28\neq 1\) .
Le système n'admet donc pas de couple \((t,s)\) solution.
Conclusion : les droites ne sont pas sécantes.

Remarque  
Les droites \(d_1\) et \(d_2\) ont pour vecteurs directeurs respectifs les vecteurs de coordonn ées \(\begin{pmatrix} 2\\4\\2 \end{pmatrix}\)  et  \(\begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}\) . Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc les droites ne sont pas parallèles. Elles sont donc non coplanaires.